음성예측도: 민감도, 특이도, 유병률로 표현

음성예측도(NPV, Negative Predictive Value)를 민감도($Se$), 특이도($Sp$), 유병률($P$)로 표현하는 베이즈 정리(Bayes' theorem) 기반 공식은 다음과 같습니다.

1. 음성예측도 수식

$$\text{NPV} = \frac{Sp \times (1 - P)}{(1 - Se) \times P + Sp \times (1 - P)}$$

• $Se$ (민감도, Sensitivity): 실제 환자 중 검사 결과가 양성으로 나온 비율
• $Sp$ (특이도, Specificity): 실제 비환자(정상) 중 검사 결과가 음성으로 나온 비율
• $P$ (유병률, Prevalence): 전체 대상 집단 중 실제 질환을 앓고 있는 환자의 비율
• $1 - P$: 비환자(정상)의 비율
• $1 - Se$: 위음성률(False Negative Rate, FNR)

2. 수식의 유도 과정 (오차행렬 기반)

전체 인체 집단을 $N$이라 할 때, 오차행렬(Confusion Matrix)의 각 항목은 유병률과 민감도·특이도로 다음과 같이 분해됩니다.

구분	질환 있음 (총 N×P명)	질환 없음 (총 $N \times (1-P)$명)
검사 양성	$TP = N \cdot P \cdot Se$	$FP = N \cdot (1-P) \cdot (1-Sp)$
검사 음성	$FN = N \cdot P \cdot (1-Se)$	$TN = N \cdot (1-P) \cdot Sp$

 

음성예측도는 "검사 결과가 음성으로 나온 전체 표본($TN + FN$) 중 실제 질환이 없는 표본($TN$)의 비율"이므로 다음과 같이 유도됩니다.

$$\text{NPV} = \frac{TN}{TN + FN} = \frac{N \cdot (1-P) \cdot Sp}{N \cdot (1-P) \cdot Sp + N \cdot P \cdot (1-Se)}$$

양변에서 $N$을 약분하면 위 수식이 완성됩니다.

3. 음성우도비(Negative Likelihood Ratio, NLR)를 활용한 간략 표현

음성우도비($\text{LR}^- = \frac{1 - Se}{Sp}$)를 사용하면 수식을 더욱 직관적으로 정리할 수 있습니다.

$$\text{NPV} = \frac{1}{1 + \text{LR}^- \times \left(\frac{P}{1-P}\right)} = \frac{1}{1 + \left(\frac{1 - Se}{Sp}\right) \times \left(\frac{P}{1-P}\right)}$$

• $\frac{P}{1-P}$: 사전 오즈(Pre-test odds)
• $\text{LR}^-$가 $0$에 수렴할수록(즉, 민감도 $Se \to 1$), 분모의 우측 항이 사라져 NPV는 $1$($100\%$)에 수렴합니다.
• 질환의 유병률($P$)이 매우 낮을 때(예: $P \to 0$) 역시 $\frac{P}{1-P} \approx 0$이 되므로, 특이도가 다소 낮더라도 수학적으로 NPV는 자연스럽게 높게 유지되는 성질을 갖습니다.