몬티 홀 문제, 베이지안 추론으로 설명하기

몬티 홀 문제를 풀고 이에 대하여 베이지안 추론 방식으로 설명해 보고자 합니다.

몬티 홀 문제

출처: 위키피디아

세 개의 문이 있고 한 개의 문 뒤에는 자동차, 나머지 두 개의 문 뒤에는 염소가 있습니다. 각각의 문에는 1, 2, 3으로 번호가 붙어 있고 문이 닫힌 상태에서는 뒤에 무엇이 있는지 알 수 없습니다. 게임쇼 참여자가 1번을 선택하였습니다. 이어서 문 뒤에 무엇이 있는지 알고 있는 진행자는 3번 문을 열었고 그 뒤에는 염소가 있었습니다. 게임쇼 참여자에게 선택을 2번으로 바꿀 수 있는 기회가 주어집니다. 그렇다면 1번에 머무르는 것보다 2번으로 바꾸는 것이 우승할 확률을 더 높여줄까요?

 

이때 선택을 바꾸는 것이 자동차를 얻을 확률을 두 배로 높여주기 때문에 유리합니다.

왜 선택을 바꾸는 것이 유리할까요?

많은 사람들이 각 문 뒤에 자동차가 있을 확률이 1/2이라고 생각하기 때문에 선택을 바꾸는 것이 의미 없다고 생각하지만, 이는 사실이 아닙니다. 처음 선택을 했을 때와 진행자가 문을 열어준 후의 확률은 다르게 계산해야 합니다.

 

이해를 돕기 위해 세 가지 시나리오를 살펴보겠습니다.

• 시나리오 1: 당신이 처음부터 자동차가 있는 문을 선택한 경우 (확률 1/3)
  
  • 진행자는 남은 두 문 중 어느 문을 열어도 상관없습니다 (둘 다 염소).
  • 이때 선택을 바꾸면 당신은 염소를 얻게 됩니다.
• 시나리오 2: 당신이 염소가 있는 문 A를 선택한 경우 (확률 1/3)
  
  • 진행자는 반드시 다른 염소가 있는 문 B를 열어야 합니다.
  • 이때 선택을 바꾸면 당신은 자동차를 얻게 됩니다.
• 시나리오 3: 당신이 염소가 있는 문 B를 선택한 경우 (확률 1/3)
  
  • 진행자는 반드시 다른 염소가 있는 문 A를 열어야 합니다.
  • 이때 선택을 바꾸면 당신은 자동차를 얻게 됩니다.

결과적으로, 세 가지 시나리오 중 두 가지 경우(처음에 염소 문을 골랐을 확률 2/3)에 선택을 바꾸면 자동차를 얻게 됩니다. 따라서 선택을 바꾸면 자동차를 얻을 확률은 2/3가 되고, 처음 선택을 고수할 경우의 확률은 1/3에 머무릅니다.

핵심 정리

• 처음 선택: 자동차를 고를 확률은 1/3, 염소를 고를 확률은 2/3입니다.
• 진행자의 역할: 진행자는 정답을 알고 있으며, 당신이 선택하지 않은 문 중에서 염소가 있는 문을 '반드시' 열어줍니다. 이 행동은 당신에게 추가적인 정보를 제공하는 것입니다. 당신이 처음에 염소를 골랐다면(확률 2/3), 진행자는 남은 문 중에서 다른 염소 문을 열 수밖에 없으므로 남은 닫힌 문은 무조건 자동차가 됩니다.
• 결정의 순간: 진행자가 문을 하나 열어준 후, 당신의 처음 선택이 맞을 확률은 여전히 1/3입니다. 하지만 나머지 두 문에 자동차가 있을 확률 2/3가 이제는 남은 단 하나의 문에 집중됩니다. 따라서 선택을 바꾸는 것이 훨씬 유리합니다.

출처: 위키피디아

베이지안 추론으로 설명하기

베이즈 정리

베이즈 정리는 아래의 식으로 표현됩니다.

$$P(C|E)=\frac{P(E|C)\times P(C)}{P(E)}$$
​
위의 식을 몬티 홀 문제에 적용하기 위하여 C와 E를 다음과 같이 정의합니다.

• C: 2번 문 뒤에 자동차 존재 (2-car)
• E: 3번 문 열기 (3-open)

3번 문 뒤에 염소가 있을 경우 2번 문 뒤에 자동차가 있을 확률을 아래와 같이 조건부확률로 표현할 수 있습니다.

$$P(2\text{-}car|3\text{-}open)$$

​
이를 베이즈 정리에 따라 표현하면 아래와 같습니다.

$$P(2\text{-}car|3\text{-}open)=\frac{P(3\text{-}open|2\text{-}car)\times P(2\text{-}car)}{P(3\text{-}open)}$$

확률 계산

3번 문을 열지 않은 상태에서 각각의 문 뒤에 자동차가 있을 확률

 

$$\begin{flalign} P(1\text{-}car)=\frac{1}{3} \\ P(2\text{-}car)=\frac{1}{3} \\ P(3\text{-}car)=\frac{1}{3}\end{flalign}$$

 

1번 문 뒤에 자동차가 있을 때 진행자가 3번 문을 열 확률 (2번, 3번 문 뒤에 자동차가 없음을 알고 있으므로 둘 중 하나를 임의로 선택)

 

$$P(3\text{-}open|1\text{-}car)=\frac{1}{2}$$

 

2번 문 뒤에 자동차가 있을 때 진행자가 3번 문을 열 확률 (자동차가 없는 3번 문을 반드시 선택)

 

$$P(3\text{-}open|2\text{-}car)=1$$

 

3번 문 뒤에 자동차가 있을 때 진행자가 3번 문을 열 확률 (자동차가 있으므로 선택할 수 없음)

 

$$P(3\text{-}open|3\text{-}car)=0$$

 

게임쇼 참여자가 1번 문을 선택했을 때 자동차가 어디에 있는지 알고 있는 진행자가 2번, 3번 문 중에서 3번 문을 열 확률

 

$$\begin{flalign*} P(3\text{-}open) &= P(3\text{-}open|1\text{-}car)\times P(1\text{-}car) \\ &+  P(3\text{-}open|2\text{-}car)\times P(2\text{-}car) \\ &+ P(3\text{-}open|3\text{-}car)\times P(3\text{-}car) \\ &=\frac{1}{2}\times \frac{1}{3}+1\times \frac{1}{3}+0\times \frac{1}{3} \\ &=\frac{1}{2}\end{flalign*}$$

 

3번 문을 열었을 때 2번 문 뒤에 자동차가 있을 확률

 

$$\begin{flalign} P(2\text{-}car|3\text{-}open) &=\frac{P(3\text{-}open|2\text{-}car)\times P(2\text{-}car)}{P(3\text{-}open)} \\ &=\frac{1\times 1/3}{1/2} \\ &=\frac{2}{3} \end{flalign}$$

 

3번 문을 열었을 때 1번 문 뒤에 자동차가 있을 확률

 

$$\begin{flalign} P(1\text{-}car|3\text{-}open) &=\frac{P(3\text{-}open|1\text{-}car)\times P(1\text{-}car)}{P(3\text{-}open)} \\ &=\frac{1/2\times 1/3}{1/2} \\ &=\frac{1}{3} \end{flalign}$$

베이지안 추론 방식의 설명

1. 기존 믿음(Prior)
   • 3번 문을 열지 않은 상태에서 2번 문 뒤에 자동차가 있을 확률은 1/3이고 2번, 3번 문 중의 하나 뒤에 자동차가 있을 확률은 2/3입니다.
2. 새로운 증거(New Evidence)
   • 문 뒤에 무엇이 있는지 알고 있는 진행자가 3번 문을 열어서 염소가 있음을 보여주었습니다.
3. 믿음 수정(Posterior)
   • 기존의 믿음, 그리고 새로운 증거를 고려하여 2번 문 뒤에 자동차가 있을 확률을 2/3로 수정합니다.