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CMATH-07. 로그 문제, 이산 로그 문제, 타원 곡선 이산 로그 문제

수학적 원리에서 현대 암호학의 정수까지, 로그(Logarithm)라는 개념이 어떻게 진화하며 난이도를 쌓아왔는지 핵심 위주로 정리합니다.1. 로그 문제 (Logarithm Problem)우리가 흔히 아는 실수 체계에서의 로그입니다. 연속적인 공간에서의 연산을 다룹니다.정의: $b^x = y$ 일 때, 지수 $x$를 찾는 문제입니다 ($x = \log_b y$).특징: 공간이 연속적입니다.난이도: 매우 쉬움. 수치 해석적인 방법(Newton's method 등)이나 테일러 급수 전개를 통해 소수점 아래 수만 자리까지도 순식간에 계산할 수 있습니다.비유: 매끄러운 오르막길에서 특정 높이에 도달하기 위해 몇 미터를 걸어야 하는지 찾는 것과 같습니다.2. 이산 로그 문제 (Discrete Logarithm Pr..

이 문제의 어려움은 간단한 지름길이나 공식이 없어서, 답을 찾으려면 사실상 거의 모든 가능성을 하나하나 확인해야 한다는 데 있습니다.시계 위에서의 점프 게임먼저, 모듈러 연산을 거대한 눈금을 가진 시계라고 상상해 보겠습니다. 일반 시계는 눈금이 12개지만, 암호학에서 사용하는 시계(법, p)는 그 눈금의 수가 상상도 할 수 없을 만큼 많습니다.​쉬운 문제 (앞으로 점프하기)​3을 5번 곱하고 17로 나눈 나머지(3^5 mod 17)를 구하는 것은 쉽습니다. 이는 "17칸짜리 시계에서, 3배씩 점프하는 규칙으로 5번 뛰어라. 최종 위치는 어디인가?"와 같습니다.3^1 → 33^2 → 93^3 → 27 ≡ 10 (mod 17)3^4 → 10 * 3 = 30 ≡ 13 (mod 17)3^5 → 13 * 3 = ..

우리가 흔히 아는 유리수, 실수, 복소수 집합 외에도 숫자가 아닌 원소들로 구성된 필드가 존재하며, 수학의 여러 분야에서 매우 중요하게 사용됩니다.​가장 대표적인 예는 유한체(Finite Field) 또는 갈루아 체(Galois Field)와 함수체(Function Field)입니다.유한체 (Finite Fields)유한체는 이름 그대로 원소의 개수가 유한한 필드입니다. 이 필드의 원소들은 우리가 일반적으로 생각하는 숫자가 아니라, 특정 규칙에 따라 연산되는 '기호'나 '상징'으로 볼 수 있습니다.​가장 단순한 유한체의 예는 $Z_p$ (또는 $GF(p)$)입니다. 여기서 $p$는 소수입니다. 이 필드의 원소는 {0,1,2,…,p−1} 이고, 모든 연산은 $p$로 나눈 나머지를 기준으로 하는 모듈러 연산..

수학에서 필드(Field), 우리말로는 체(體)는 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈(0으로 나누는 경우 제외)이라는 네 가지 기본 연산, 즉 사칙연산이 자유롭게 가능하고 우리가 일반적으로 사용하는 수의 체계와 유사한 성질을 만족하는 대수적 구조를 말합니다. 쉽게 말해, 필드는 우리가 일상적으로 숫자를 다루는 방식의 규칙들을 엄밀하게 정의해 놓은 집합이라고 할 수 있습니다. 필드가 되기 위해서는 특정 공리(Axiom)들을 만족해야 합니다. 이 공리들은 덧셈과 곱셈이라는 두 가지 연산에 대해 정의됩니다.필드의 공리 (Field Axioms)어떤 집합 F가 두 연산 '+'(덧셈)와 '·'(곱셈)에 대해 필드라고 불리기 위해서는 다음의 조건들을 모두 만족해야 합니다. 덧셈에 관한 공리 (F, +)는 가환군(Abeli..

타원 곡선 암호(Elliptic Curve Cryptography, ECC)는 현대 디지털 보안의 핵심 기술입니다. 비트코인과 같은 암호화폐는 물론, 우리가 매일 사용하는 메시징 앱의 종단간 암호화, 웹사이트 접속에 쓰이는 HTTPS 통신 등 수많은 곳에서 데이터를 안전하게 지키고 있죠. 이 기술의 심장에는 '타원 곡선'이라는 특별한 수학적 구조와 그것이 이루는 '순환 군(Cyclic Group)'이라는 특성이 자리 잡고 있습니다.​1. 타원 곡선: 점들의 특별한 덧셈 규칙타원 곡선은 특정 방정식(보통 $y^2 = x^3 + ax + b$ 형태)을 만족하는 점(x, y)들의 집합입니다. 이 곡선 위의 점들은 매우 독특하고 강력한 덧셈 규칙을 가지고 있습니다.타원 곡선 위에서 두 점의 덧셈 (출처: des..

군은 추상대수학의 가장 기본적인 개념으로, 특정 규칙들을 만족하는 집합과 그 집합에 정의된 연산의 조합을 말합니다. 어떤 집합 G와 그 위의 이항 연산(예: 덧셈 '+' 또는 곱셈 '×')이 '그룹'이 되려면 다음 네 가지 기본 조건(공리)을 반드시 만족해야 합니다.군의 4가지 조건 (Group Axioms)​어떤 집합 G와 연산 '*'에 대해, 집합 안의 임의의 원소 a, b, c가 다음 규칙을 만족할 때 (G, *)를 군이라고 부릅니다.1. 연산에 대해 닫혀 있다 (Closure)a * b는 반드시 집합 G의 원소이다.집합 안의 어떤 두 원소를 가져와 연산해도 그 결과는 항상 그 집합 안에 있어야 합니다. 예를 들어, 두 정수를 더하면 항상 정수가 되므로, 정수 집합은 덧셈에 대해 닫혀 있습니다.2...

​군: 더 일반적이고 단순한 구조군이 체보다 더 단순하고 일반적인 개념이며, 체를 정의하기 위한 기본적인 구성 요소로 사용됩니다.군: 단 하나의 연산과 네 가지 기본 규칙(닫힘, 결합법칙, 항등원, 역원)만 만족하면 성립합니다. 이 단순함 덕분에 대칭성을 가지는 거의 모든 대상(예: 도형의 회전, 분자 구조, 암호학)에서 군의 구조를 발견할 수 있습니다.체: 두 개의 연산(덧셈, 곱셈)이 필요하며, 각 연산에 대해 군과 유사한 규칙들(특히 교환법칙까지)을 만족해야 하고, 두 연산을 연결하는 분배법칙까지 성립해야 합니다. 조건이 훨씬 까다롭기 때문에, 체가 되는 대상은 군이 되는 대상보다 훨씬 제한적입니다.​쉽게 말해, 모든 체는 그 안에 군의 구조를 포함하고 있지만, 모든 군이 체가 되는 것은 아닙니다...

초등 산술에서 덧셈은 단순히 수를 합하는 과정이지만, 수학이 발전하면서 이 '더한다'는 행위의 본질적인 속성은 무엇인지, 그리고 이 속성을 숫자뿐만 아니라 벡터, 행렬, 함수 등 다른 대상에도 적용할 수 있는지 탐구하게 되었습니다. 이러한 탐구의 결과로, 현대 수학에서는 덧셈을 훨씬 더 추상적이고 강력한 개념으로 정의합니다. 덧셈의 수학적 정의는 크게 두 단계로 일반화됩니다. 첫 번째는 페아노 공리계를 이용한 자연수의 덧셈 정의이며, 두 번째는 이를 추상대수학의 구조로 확장하는 것입니다.1. 페아노 공리를 이용한 자연수의 덧셈 정의가장 근본적인 수 체계인 자연수(N=0,1,2,...)에서 덧셈은 다음의 두 가지 규칙으로 재귀적으로 정의됩니다. 이는 주세페 페아노가 제시한 공리계에 기반합니다.​ 여기서 S..