CMATH-02. 군(Group)과 체(Field)

​군: 더 일반적이고 단순한 구조

군이 체보다 더 단순하고 일반적인 개념이며, 체를 정의하기 위한 기본적인 구성 요소로 사용됩니다.

• 군: 단 하나의 연산과 네 가지 기본 규칙(닫힘, 결합법칙, 항등원, 역원)만 만족하면 성립합니다. 이 단순함 덕분에 대칭성을 가지는 거의 모든 대상(예: 도형의 회전, 분자 구조, 암호학)에서 군의 구조를 발견할 수 있습니다.
• 체: 두 개의 연산(덧셈, 곱셈)이 필요하며, 각 연산에 대해 군과 유사한 규칙들(특히 교환법칙까지)을 만족해야 하고, 두 연산을 연결하는 분배법칙까지 성립해야 합니다. 조건이 훨씬 까다롭기 때문에, 체가 되는 대상은 군이 되는 대상보다 훨씬 제한적입니다.

​쉽게 말해, 모든 체는 그 안에 군의 구조를 포함하고 있지만, 모든 군이 체가 되는 것은 아닙니다. 예를 들어, 정수의 집합은 덧셈에 대해 군을 이루지만, 곱셈에 대한 역원이 없으므로 체는 아닙니다.

체를 정의하는 기본 구성 요소

​체의 정의 자체를 살펴보면 군이 얼마나 근본적인지 알 수 있습니다.

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체(F)란?

1. 집합 F가 덧셈에 대해 교환법칙이 성립하는 군(Abelian group)을 이룬다.
2. 집합 F에서 0을 제외한 원소들이 곱셈에 대해 교환법칙이 성립하는 군(Abelian group)을 이룬다.
3. 덧셈과 곱셈 사이에 분배법칙이 성립한다.

​이처럼 체는 사실상 두 개의 군 구조를 뼈대로 삼고, 분배법칙으로 두 뼈대를 연결한 구조입니다. 따라서 군이라는 개념 없이는 체를 정의할 수 없습니다.

군과 아벨군

구분	군 (Group)	아벨군 (Abelian Group)
정의	4가지 공리 만족	4가지 공리 + 교환법칙 만족
관계	상위 개념 (일반적)	하위 개념 (특수하고 구체적)
대표 연산 표기	곱셈 ($\cdot$)	덧셈 ($+$)
예시	행렬의 곱셈, 큐브 회전	정수의 덧셈, 실수의 덧셈

• 수학자들이 굳이 '아벨군'이라는 이름을 따로 붙인 이유는, 세상에는 교환법칙이 성립하지 않는 군(Non-Abelian Group)이 매우 많고 중요하기 때문입니다.
• 연산자 표기와 관련하여 아벨군일 때 주로 '덧셈' 기호를 사용하는 것이지, 아벨군의 연산자가 반드시 우리가 아는 '숫자 더하기'인 것은 아닙니다.

결론

​군은 추상 대수학의 가장 기본적인 '벽돌' 중 하나와 같습니다. 이 벽돌을 이용해 링(Ring), 체(Field)와 같은 더 복잡하고 특수한 구조들을 쌓아 올리는 것입니다.