CMATH-03. 군(Group), 가환 군, 순환 군

군은 추상대수학의 가장 기본적인 개념으로, 특정 규칙들을 만족하는 집합과 그 집합에 정의된 연산의 조합을 말합니다. 어떤 집합 G와 그 위의 이항 연산(예: 덧셈 '+' 또는 곱셈 '×')이 '그룹'이 되려면 다음 네 가지 기본 조건(공리)을 반드시 만족해야 합니다.

군의 4가지 조건 (Group Axioms)

​어떤 집합 G와 연산 '*'에 대해, 집합 안의 임의의 원소 a, b, c가 다음 규칙을 만족할 때 (G, *)를 군이라고 부릅니다.

1. 연산에 대해 닫혀 있다 (Closure)

• a * b는 반드시 집합 G의 원소이다.
• 집합 안의 어떤 두 원소를 가져와 연산해도 그 결과는 항상 그 집합 안에 있어야 합니다. 예를 들어, 두 정수를 더하면 항상 정수가 되므로, 정수 집합은 덧셈에 대해 닫혀 있습니다.

2. 결합법칙 성립 (Associativity)

• (a * b) * c = a * (b * c)
• 세 원소를 연산할 때, 앞의 두 원소를 먼저 계산하든 뒤의 두 원소를 먼저 계산하든 결과는 항상 같아야 합니다. 이는 연산 순서에 대한 일관성을 보장합니다.

3. 항등원 존재 (Identity Element)

• 모든 a에 대해 a * e = e * a = a를 만족하는 원소 e가 집합 G 안에 존재한다.
• 항등원(e)은 다른 원소와 연산했을 때 자기 자신을 그대로 돌려주는 특별한 원소입니다. 덧셈에서는 0이, 곱셈에서는 1이 항등원의 역할을 합니다.

4. 역원 존재 (Inverse Element)

• 집합 G의 모든 원소 $a$에 대해, $a * a^{-1} = a^{-1} * a = e$를 만족하는 역원($a^{-1}$)이 G 안에 반드시 존재한다.
• 역원은 어떤 원소와 연산했을 때 항등원을 만들어내는 짝꿍입니다. 예를 들어, 덧셈에서 정수 5의 역원은 -5이며, 곱셈에서 5의 역원은 1/5입니다.

​가환 군 (아벨 군)

만약 위의 네 가지 기본 조건에 더해, 교환법칙까지 성립하면 그 군을 특별히 가환 군(Commutative Group) 또는 아벨 군(Abelian Group)이라고 부릅니다.

• 교환법칙 (Commutativity): a * b = b * a

​정수의 덧셈처럼 연산 순서를 바꿔도 결과가 같은 경우가 여기에 해당합니다. 하지만 행렬의 곱셈처럼 순서를 바꾸면 결과가 달라지는 연산은 교환법칙이 성립하지 않으므로 가환 군이 아닙니다.

​순환 군

순환 군(Cyclic Group)은 단 하나의 원소, 즉 생성원(generator)을 반복적으로 연산하여 군 내의 모든 원소를 만들어낼 수 있는 매우 단순하고 규칙적인 구조를 가진 군입니다.

​마치 하나의 벽돌(생성원)만으로 전체 건물을 쌓아 올리는 것과 같습니다.

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핵심 개념: 생성원 (Generator)

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순환 군의 가장 중요한 특징은 생성원의 존재입니다. 생성원을 g라고 할 때, 군의 모든 원소는 g를 자기 자신과 반복적으로 연산해서 얻을 수 있습니다.

• 곱셈 연산의 경우: {$..., g^{-2}, g^{-1}, e, g^{1}, g^{2}, ...$} 와 같이 거듭제곱 형태로 모든 원소가 표현됩니다. (e는 항등원)
• 덧셈 연산의 경우: {$..., -2g, -g, 0, g, 2g, ...$} 와 같이 정수배 형태로 모든 원소가 표현됩니다. (0은 항등원)

​한 군에 생성원은 여러 개일 수도 있습니다.

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순환 군의 종류와 예시

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순환 군은 원소의 개수에 따라 무한 순환 군과 유한 순환 군으로 나뉩니다.

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1. 무한 순환 군 (Infinite Cyclic Group)

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원소의 개수가 무한한 군입니다. 가장 대표적인 예는 정수 집합(ℤ)과 덧셈 연산입니다.

• 군: (ℤ, +)
  • 생성원: 1 또는 -1
  • 생성원 '1'을 사용하면 모든 정수를 만들 수 있습니다.
    • 1 + 1 + 1 = 3
    • (-1) + (-1) = -2
    • 1 + (-1) = 0 (항등원)
  • 마찬가지로 '-1'을 사용해도 모든 정수를 표현할 수 있습니다.

2. 유한 순환 군 (Finite Cyclic Group)

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원소의 개수가 유한한 군입니다. 가장 대표적인 예는 정수 나머지(모듈러) 연산 군입니다.

• 군: ($ℤ_n, +_n$) (n으로 나눈 나머지의 덧셈)
• 예시: $ℤ_4$
  • 원소: {0, 1, 2, 3}
  • 생성원: 1 또는 3
  • 생성원 '1'을 가지고 연산을 반복해 보겠습니다.
    • 1
    • 1 + 1 = 2
    • 1 + 1 + 1 = 3
    • 1 + 1 + 1 + 1 = 4 ≡ 0 (mod 4) (항등원으로 순환)
  • 이렇게 '1'을 반복해서 더하는 것만으로 모든 원소 {0, 1, 2, 3}을 만들 수 있습니다. 생성원 '3'도 마찬가지입니다.
    • 3
    • 3 + 3 = 6 ≡ 2 (mod 4)
    • 3 + 3 + 3 = 9 ≡ 1 (mod 4)
    • 3 + 3 + 3 + 3 = 12 ≡ 0 (mod 4)

순환 군의 주요 특징

• 모든 순환 군은 가환 군(Abelian Group)입니다. 생성원의 거듭제곱 또는 배수로 모든 원소가 표현되므로, 연산의 교환법칙(a * b = b * a)이 항상 성립합니다.
• 순환 군의 모든 부분 군(subgroup) 역시 순환 군입니다. 전체 구조가 단순한 만큼, 그 일부인 부분 군도 동일한 순환 구조를 가집니다.
• 구조가 매우 명확합니다. 생성원과 원소의 개수만 알면 군 전체의 구조를 완벽하게 파악할 수 있습니다. 이 때문에 추상대수학에서 다른 복잡한 군들을 분석하는 데 있어 기준으로 사용됩니다.