페드텐서 FedTensor

동네 카페 손님들의 (키, 몸무게) 데이터를 바탕으로, 앞서 살펴본 EM 알고리즘과 동일한 구조(목표, 단계별 흐름, 최종 결과)에 맞추어 깁스 샘플링(Gibbs Sampling)을 적용한 베이지안 GMM 군집화 과정을 단계별로 설명합니다.상황 설정관측 데이터: 하루 동안 방문한 손님들의 (키, 몸무게) 2차원 좌표점들.목표: 손님들을 3개의 타원형 구름($K=3$)으로 분류하기.예: 어린이 그룹, 성인 여성 그룹, 성인 남성 그룹찾아야 하는 정보 (각 구름의 파라미터 및 소속 변수):손님의 소속 번호표($z_i$): 각 손님이 1, 2, 3번 구름 중 어디에 속하는지 명확한 번호중심점(평균 $\boldsymbol{\mu}$): 각 그룹의 평균 키와 몸무게모양과 기울기(공분산 $\boldsymbol{\S..

GMM(Gaussian Mixture Model)이 데이터를 군집화하는 핵심 원리는 EM(Expectation-Maximization) 알고리즘이라는 반복 과정을 통해 이루어집니다. 앞서 살펴본 동네 카페 손님들의 (키, 몸무게) 데이터를 바탕으로, GMM이 어떻게 최적의 타원형 구름들을 찾아내는지 단계별로 구체적인 과정을 설명합니다.상황 설정관측 데이터: 하루 동안 방문한 손님들의 (키, 몸무게) 2차원 좌표점들.목표: 손님들을 3개의 타원형 구름($K=3$)으로 분류하기.예: 어린이 그룹, 성인 여성 그룹, 성인 남성 그룹찾아야 하는 정보 (각 구름의 파라미터):중심점(평균 $\boldsymbol{\mu}$): 각 그룹의 평균 키와 몸무게모양과 기울기(공분산 $\boldsymbol{\Sigma}$):..

데이터를 분석할 때 마주치는 가장 근본적인 질문 중 하나는 바로 "이 데이터들을 어떻게 의미 있는 그룹으로 묶을 것인가?"입니다. 머신러닝과 통계학은 지난 수십 년간 이 단순한 질문에 답하기 위해 모델을 발전시켜 왔습니다. "딱딱한 원형 구역"을 나누던 단순한 방식에서 출발해, "유연한 타원형 구름", "그룹 개수를 스스로 학습하는 모델", 나아가 "시간의 흐름까지 엮어내는 동적 모델"로 확장되어 온 여정을 한 편의 흐름으로 정리해 봅니다. 이해를 돕기 위해 어느 동네 카페에서 손님들의 (키, 몸무게)를 측정하는 상황을 일관된 예시로 활용해 보겠습니다.1. K-Means: 단순함의 미학, 그러나 엄격한 한계군집화(Clustering)를 배울 때 가장 먼저 만나는 알고리즘은 단연 K-Means입니다.핵심 ..

깁스 샘플링(Gibbs Sampling)에서 말하는 '결합분포(Joint Distribution)'는 "우리가 추정하고자 하는 모든 미지의 변수(파라미터와 잠재 변수)가 주어진 관측 데이터 하에서 함께 가질 수 있는 종합적인 확률분포", 즉 베이지안 관점의 사후 결합분포(Joint Posterior Distribution)를 의미합니다. 각 예시에서 구체적으로 무엇을 결합분포로 정의하는지 살펴보겠습니다.1. 예시 1: 공의 무게 군집 (Light / Heavy)관측된 데이터 ($X$): 각 공들의 측정된 1차원 무게들 ($x_1, x_2, \dots, x_N$)추정해야 할 미지의 변수들:개별 공들의 소속 라벨 ($Z$): 각 공이 Light인지 Heavy인지 나타내는 잠재 변수들 ($z_1, z_2, \..

머신러닝과 통계학에서 비지도학습의 끝판왕 중 하나로 꼽히는 DP-GMM(디리클레 과정 가우시안 혼합 모델)은 데이터에 맞춰 스스로 군집의 개수를 증감시키는 정교한 통계 모델입니다. 이 거대한 아키텍처는 하늘에서 불쑥 떨어진 것이 아닙니다. 고등학교 수준의 표준 정규분포라는 가장 단순한 확률적 벽돌에서 출발하여, 차원을 넓히고, 행렬을 뒤집고, 켤레성을 부여하며 층층이 쌓아 올린 논리적 빌드업의 최종 결과물입니다. 이 7단계의 유기적인 개념 사다리를 차례대로 올라가 봅니다.1. 표준 정규분포: 모든 확률 모델의 1차원 출발점$$Z \sim \mathcal{N}(0, 1)$$개념: 평균이 0, 분산이 1인 가장 대칭적이고 이상적인 연속 확률분포입니다.장치로서의 역할: 통계학의 가장 순수한 원자재입니다. 키,..

카페에 앉아서동네 카페에 앉아 오가는 손님들을 무심코 관찰한다고 해봅시다. 손님마다 키와 몸무게가 다르고, 얼핏 보면 두 무리 정도로 나뉘는 것 같기도 합니다. 그런데 정말 두 무리일까요? 세 무리는 아닐까요? 아니면 그냥 하나의 큰 덩어리일까요?이 질문— "데이터가 몇 개의 군집으로 나뉘는가" — 은 통계학에서 생각보다 까다로운 문제입니다. 대부분의 군집화 기법(k-means가 대표적입니다)은 이 질문에 답하기 전에 먼저 "몇 개로 나눌지"를 사람이 정해줘야 합니다. K=2로 나눠보고, K=3으로도 나눠보고, 결과를 비교해서 "그나마 나은 것"을 고르는 식이죠. 하지만 이건 답을 찾는 게 아니라 답을 미리 정해놓고 데이터를 거기에 끼워 맞추는 것에 가깝습니다.비모수 베이지안(Nonparametric B..

디리클레 과정(Dirichlet Process)에서 기저 분포(Base Distribution, $G_0$)는 무한히 새로 생겨날 수 있는 군집들의 '씨앗'이자 '원형(Prototype)을 제공하는 가이드' 역할을 합니다. $G_0$의 구체적인 수학적 형태와 이것이 DP-GMM에서 어떻게 활용되는지 단계별로 설명합니다.1. 기저 분포($G_0$)의 본질과 역할$G_0$는 기본적으로 "군집의 파라미터(Parameter)를 생성하는 확률 분포"입니다. DP-GMM에서 군집 하나가 정의되려면 그 군집의 평균 벡터($\boldsymbol{\mu}$)와 변량/공분산 행렬($\mathbf{\Sigma}$)이 필요합니다.새로운 군집 $k$가 짠 하고 생겨날 때, 그 군집의 중심 위치와 모양 $(\boldsymbol{..

중국집 프로세스(CRP)가 데이터 관점에서의 행동 비유라면, 디리클레 과정(Dirichlet Process, DP)은 이를 뒷받침하는 수학적 무한 차원 확률 모델입니다. DP-GMM(Dirichlet Process Gaussian Mixture Model)의 핵심 수학적 원리를 직관적인 흐름으로 정리합니다.1. 디리클레 과정(Dirichlet Process)이란?"무한히 많은 가우시안 분포(군집)를 만들어낼 수 있는 확률 과정"입니다. 일반적인 확률 분포(예: 가우시안)는 숫자를 샘플링하지만, 디리클레 과정은 '분포 자체'를 샘플링합니다.$$G \sim \text{DP}(\alpha, G_0)$$$G_0$ (기저 분포, Base Distribution): 새로운 군집이 생길 때, 그 군집의 평균과 분산이..

군집의 개수($K$)를 미리 정하지 않고 데이터에 맞게 자동으로 찾아내는 기법을 통계학에서는 무한 차원 베이지안 기법(Nonparametric Bayesian)이라고 부릅니다. 이 개념을 가장 직관적으로 이해할 수 있는 대표적인 비유가 바로 '중국집 프로세스(Chinese Restaurant Process, CRP)'입니다.핵심 아이디어: "새 손님은 어느 테이블에 앉을까?"손님(데이터)이 무한히 큰 중국집에 한 명씩 들어온다고 가정해 봅시다. 이 중국집에는 이미 몇 개의 테이블(군집)이 차 있고, 손님이 앉아 있습니다. 새로 들어온 손님(새로운 데이터 포인트)은 다음 두 가지 선택지 중 하나를 확률적으로 선택합니다.기존 테이블에 합석하기: 손님이 많이 앉아 있는 인기가 많은 테이블일수록 앉을 확률이 높..

각 예시를 통해 깁스 샘플링이 실제 데이터를 다룰 때 어떻게 주고받으며 반복 추론을 수행하는지 직관적으로 설명합니다.예시 1: 공의 무게로 Light / Heavy 군집 나누기상자 안에 무게만 측정된 여러 개의 공이 섞여 있습니다. 이 공들을 '가벼운 공(Light)' 그룹과 '무거운 공(Heavy)' 그룹으로 나누려고 합니다.1. 문제 상황과 핵심 아이디어우리가 원하는 것: 각 공의 그룹 라벨(Light/Heavy)과 각 그룹의 대표 무게(평균)를 찾는 것.딜레마:공들의 라벨을 알아야 그룹별 평균 무게를 계산할 수 있습니다.반대로 그룹별 평균 무게를 알아야 공을 어느 그룹에 넣을지 결정할 수 있습니다."닭이 먼저냐, 계란이 먼저냐"의 문제입니다.2. 깁스 샘플링의 작동 방식깁스 샘플링은 한쪽을 임의로 ..