FedTensor

뉴턴 역학에서는 힘($F=ma$)을 이용하여 물체의 운동을 기술하지만, 라그랑주 역학에서는 에너지(운동 에너지와 위 에너지)를 이용하여 운동 방정식을 유도합니다. 이 방법은 특히 복잡한 시스템을 분석할 때 매우 강력합니다. 여기서는 가장 간단한 예시 중 하나인, 중력의 영향 아래에서 자유 낙하하는 물체의 운동을 라그랑주 역학으로 풀어보겠습니다.1단계: 일반화 좌표 (Generalized Coordinates) 설정가장 먼저 시스템의 움직임을 완전히 기술할 수 있는 최소한의 독립적인 좌표를 설정해야 합니다.물체는 수직 방향으로만 움직이므로, 지면으로부터의 높이를 나타내는 좌표 $y$ 하나면 충분합니다.일반화 좌표: $q=y$ 일반화 속도: $\dot{q}​=\dot{y}​=\frac{dy}{dt}​=v\..

물리학에서 최소 작용의 원리(Principle of Least Action)는 자연 현상이 마치 '최소한의 노력'으로 가장 효율적인 경로를 선택한다는 아이디어에서 출발한 심오하고 근본적인 원리입니다. 물체가 한 지점에서 다른 지점으로 이동할 때, 가능한 무수히 많은 경로 중에서 실제 운동 경로는 '작용(Action)'이라는 물리량을 최소화(정확히는 극소화)하는 단 하나의 경로를 따른다는 것입니다.핵심 개념: '작용(Action)'이란 무엇인가?최소 작용의 원리를 이해하기 위한 핵심은 작용(Action)이라는 개념입니다. 작용은 단순히 거리나 시간이 아닌, 운동 과정 전체의 '총 노력'을 나타내는 물리량입니다. 이는 경로의 각 순간에서 운동 에너지(T)에서 위치 에너지(V)를 뺀 값, 즉 라그랑지안(Lag..

라그랑주 역학은 뉴턴 역학을 새롭게 재구성한 고전 역학의 한 분야입니다. 힘과 가속도를 직접 다루는 대신, 에너지를 기반으로 계의 운동을 분석하는 것이 가장 큰 특징입니다. 이 접근 방식은 특히 여러 물체가 복잡하게 얽혀 있거나, 특정 조건(구속 조건) 하에서 움직이는 계를 훨씬 더 간결하고 우아하게 풀어낼 수 있게 해줍니다.핵심 개념: 라그랑지안 (Lagrangian)라그랑주 역학의 심장은 라그랑지안(Lagrangian)이라고 불리는 물리량 L입니다. 라그랑지안은 계의 운동 에너지(T)에서 위치 에너지(V)를 뺀 값으로 정의됩니다.$$L = T - V$$운동 에너지 (T): 물체가 움직이기 때문에 갖는 에너지입니다. 질량이 $m$이고 속도가 $v$인 물체의 운동 에너지는 $T = \frac{1}{2}m..