03. 물체의 낙하 운동: 라그랑주 역학적 접근

뉴턴 역학에서는 힘($F=ma$)을 이용하여 물체의 운동을 기술하지만, 라그랑주 역학에서는 에너지(운동 에너지와 위 에너지)를 이용하여 운동 방정식을 유도합니다. 이 방법은 특히 복잡한 시스템을 분석할 때 매우 강력합니다.

 

여기서는 가장 간단한 예시 중 하나인, 중력의 영향 아래에서 자유 낙하하는 물체의 운동을 라그랑주 역학으로 풀어보겠습니다.

1단계: 일반화 좌표 (Generalized Coordinates) 설정

가장 먼저 시스템의 움직임을 완전히 기술할 수 있는 최소한의 독립적인 좌표를 설정해야 합니다.

• 물체는 수직 방향으로만 움직이므로, 지면으로부터의 높이를 나타내는 좌표 $y$ 하나면 충분합니다.
• 일반화 좌표: $q=y$  
• 일반화 속도: $\dot{q}​=\dot{y}​=\frac{dy}{dt}​=v\ \text{(물체의 속도)}$

 2단계: 운동 에너지 (Kinetic Energy, T) 정의

시스템의 운동 에너지를 일반화 좌표와 일반화 속도로 표현합니다.

• 질량이 $m$이고 속도가 $v=\dot{y}$인 물체의 운동 에너지는 다음과 같습니다.   

    $$ T = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}m\dot{y}^2 $$

3단계: 위치 에너지 (Potential Energy, V) 정의

시스템의 위치 에너지를 일반화 좌표로 표현합니다.

• 지면을 기준점($y=0$)으로 할 때, 높이 $y$에 있는 물체의 중력 위치 에너지는 다음과 같습니다.

    $$ V = mgy $$

    여기서 $g$는 중력 가속도입니다.

4단계: 라그랑지안 (Lagrangian, L) 구성

라그랑지안 $L$은 운동 에너지($T$)에서 위치 에너지($V$)를 뺀 값으로 정의됩니다.

• $L=T−V$

    $$ L = \frac{1}{2}m\dot{y}^2 - mgy $$

5단계: 오일러-라그랑주 방정식 (Euler-Lagrange Equation) 적용

라그랑주 역학의 핵심이 되는 오일러-라그랑주 방정식은 다음과 같습니다. 이 방정식을 통해 운동 방정식을 유도할 수 있습니다.

$$ \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\right) - \frac{\partial L}{\partial q} = 0 $$

우리의 시스템에서는 $q=y$이므로 방정식은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

$$ \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{y}}\right) - \frac{\partial L}{\partial y} = 0 $$

6단계: 각 항 계산하기

오일러-라그랑주 방정식에 필요한 각 편미분 항을 계산합니다.

 

1. $\frac{\partial L}{\partial y}$​ 계산:

    라그랑지안 $L$을 $y$에 대해 편미분합니다. $mgy$ 항만 $y$에 의존합니다.

    $$ \frac{\partial L}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{1}{2}m\dot{y}^2 - mgy\right) = -mg $$

2.  $\frac{\partial L}{\partial \dot{y}}$​ 계산:

    라그랑지안 $L$을 $\dot{y}$에 대해 편미분합니다. $\frac{1}{2}m\dot{y}^2$ 항만 $\dot{y}$에 의존합니다.

    $$ \frac{\partial L}{\partial \dot{y}} = \frac{\partial}{\partial \dot{y}}\left(\frac{1}{2}m\dot{y}^2 - mgy\right) = m\dot{y} $$

3.  $\frac{d}{dt} \left(\frac{\partial L}{\partial \dot{y}}\right)$ 계산:

    위에서 구한 결과를 시간에 대해 미분합니다.

    $$ \frac{d}{dt}(m\dot{y}) = m\ddot{y} $$

    여기서 $\ddot{y}​=\frac{d^2y}{dt^2}​=a$ (물체의 가속도) 입니다.

7단계: 운동 방정식 유도

계산된 항들을 오일러-라그랑주 방정식에 대입하여 최종적인 운동 방정식을 얻습니다.

$$ (m\ddot{y}) - (-mg) = 0 $$

$$ m\ddot{y} + mg = 0 $$

$$ m\ddot{y} = -mg $$

양변을 질량 $m$으로 나누면, 우리가 잘 아는 등식을 얻게 됩니다.

$$ \ddot{y} = -g $$

8단계: 운동 방정식 풀이 (시간에 따른 위치 구하기)

위에서 구한 운동 방정식 $\ddot{y}​=−g$는 2계 미분 방정식입니다. 이 방정식을 시간에 대해 두 번 적분하여 시간에 따른 위치 $y(t)$를 구합니다.

 

1.  첫 번째 적분 (속도 구하기):

    $$ \dot{y}(t) = \int \ddot{y} dt = \int (-g) dt = -gt + C_1 $$

    여기서 $C_1$​은 적분 상수입니다. $t=0$일 때의 초기 속도를 $v_0$​라고 하면, $\dot{y}​(0)=v_0$​이므로 $C_1​=v_0$​가 됩니다.

    $$ \therefore \dot{y}(t) = v_0 - gt $$

2.  두 번째 적분 (위치 구하기):

    $$ y(t) = \int \dot{y}(t) dt = \int (v_0 - gt) dt = v_0t - \frac{1}{2}gt^2 + C_2 $$

    여기서 $C_2$​는 두 번째 적분 상수입니다. $t=0$일 때의 초기 위치를 $y_0$​라고 하면, $y(0)=y_0$​이므로 $C_2​=y_0$​가 됩니다.

 

따라서 시간에 따른 물체의 최종 위치는 다음과 같습니다.

$$ y(t) = y_0 + v_0t - \frac{1}{2}gt^2 $$

결론

이 결과($\ddot{y}​=−g$)는 물체의 가속도가 중력 가속도 $g$와 같고, 방향은 $y$축의 음의 방향(아래쪽)이라는 것을 의미합니다. 이는 뉴턴의 운동 제2법칙($F=ma$)에서 유도한 결과($ma=−mg$)와 정확히 일치합니다.

 

이처럼 라그랑주 역학은 힘 대신 스칼라 양인 에너지를 사용하여 시스템의 동역학을 성공적으로 기술할 수 있으며, 복잡한 계에서도 운동 방정식을 체계적으로 유도할 수 있는 강력한 도구입니다.