FedTensor

암호학에서 유한체를 정의할 때 소수($p$)를 사용하는 이유는 단순히 숫자가 커서가 아니라, 수학적으로 '체(Field)'라는 완벽한 대수 구조를 형성하기 위한 필수 조건이기 때문입니다. 물리학에서 계(system)가 붕괴하지 않기 위해 보존 법칙이 필요하듯, 암호 연산이 성립하기 위해서는 모든 원소에 대해 역원(Inverse)이 존재해야 합니다.1. 모든 원소의 역원 존재 (나눗셈의 가능성)가장 핵심적인 이유는 '0을 제외한 모든 원소로 나눌 수 있어야 한다'는 것입니다.합성수($n$)를 사용할 때: 예를 들어 $\pmod 6$의 세계를 가정해 봅시다.$2 \times 3 = 6 \equiv 0 \pmod 6$ 입니다.여기서 $2$에 무엇을 곱해도 $1$이 될 수 없습니다. 즉, 2의 역원($1/2$)..

암호학에서 사용되는 타원 곡선 이산 로그 문제(Elliptic Curve Discrete Logarithm Problem, ECDLP)는 반드시 유한체(Finite Field) 위에서 정의됩니다. 우리가 개념을 설명할 때 흔히 보는 부드러운 곡선 그래프는 실수(Real Numbers) 위에서 그려진 것이지만, 이를 직접 암호에 사용하지는 않습니다.실수 위가 아닌, 유한체 위의 점들암호학에 타원 곡선을 사용하기 위해서는 곡선을 이산적이고 유한한 공간으로 가져와야 합니다. 이는 모든 계산을 특정 소수 p로 나눈 나머지, 즉 모듈러 연산(Modular Arithmetic)을 통해 수행함으로써 이루어집니다.개념 (실수 위): $y^2 = x^3 + ax + b$ 방정식의 해가 되는 무한히 많은 점 (x, y)들..

우리가 흔히 아는 유리수, 실수, 복소수 집합 외에도 숫자가 아닌 원소들로 구성된 필드가 존재하며, 수학의 여러 분야에서 매우 중요하게 사용됩니다.​가장 대표적인 예는 유한체(Finite Field) 또는 갈루아 체(Galois Field)와 함수체(Function Field)입니다.유한체 (Finite Fields)유한체는 이름 그대로 원소의 개수가 유한한 필드입니다. 이 필드의 원소들은 우리가 일반적으로 생각하는 숫자가 아니라, 특정 규칙에 따라 연산되는 '기호'나 '상징'으로 볼 수 있습니다.​가장 단순한 유한체의 예는 $Z_p$ (또는 $GF(p)$)입니다. 여기서 $p$는 소수입니다. 이 필드의 원소는 {0,1,2,…,p−1} 이고, 모든 연산은 $p$로 나눈 나머지를 기준으로 하는 모듈러 연산..