효과 크기(effect size) 두 지표—η²(에타제곱)와 Cramér's V

1. 에타 제곱 ($\eta^2$, Eta-squared)

에타 제곱은 주로 분산분석(ANOVA)에서 사용되는 지표로, 독립 변수가 종속 변수의 전체 분산 중 얼마만큼을 설명하는지를 나타냅니다.

① 직관적 의미

"전체 변동 중에서 우리가 관심 있는 요인(집단 간 차이)이 차지하는 비중이 얼마나 되는가?"를 의미합니다. 예를 들어, 세 가지 다른 학습법이 성적에 미치는 영향을 조사할 때, 성적 차이(분산)가 발생한 원인 중 '학습법의 차이' 때문에 발생한 비율이 바로 $\eta^2$입니다.

② 수식

$$\eta^2 = \frac{SS_{between}}{SS_{total}}$$

• $SS_{between}$ (Sum of Squares Between groups): 집단 간 제곱합 (집단 간의 차이로 인한 변동)
• $SS_{total}$ (Sum of Squares Total): 총 제곱합 (전체 데이터의 총 변동)

③ 해석 기준 (Cohen, 1988)

• Small (작음): $0.01$
• Medium (중간): $0.06$
• Large (큼): $0.14$ 이상

2. 크라메르 V (Cramér's V)

크라메르 V는 교차분석(Chi-square test)에서 사용되는 지표로, 두 범주형 변수(Nominal variables) 간의 연관성 강도를 나타냅니다.

① 직관적 의미

카이제곱($\chi^2$) 검정은 "두 변수가 독립인가 아닌가"를 알려주지만, 그 관계가 "얼마나 강력한가"는 알려주지 않습니다. 크라메르 V는 카이제곱 값을 표본 크기와 테이블의 크기로 표준화하여, 0(연관성 없음)에서 1(완벽한 연관성) 사이의 값을 갖게 만듭니다.

• 값이 1에 가까울수록 두 변수는 매우 밀접하게 연결되어 있습니다.
• 값이 0에 가까울수록 두 변수는 서로 아무런 상관이 없습니다.

② 수식

$$V = \sqrt{\frac{\chi^2}{n(k - 1)}}$$

• $\chi^2$: 카이제곱 통계량
• $n$: 전체 표본의 크기
• $k$: 행(row)과 열(column) 중 더 작은 쪽의 범주 수 (즉, $\min(\text{rows, columns})$)

③ 해석 특징

• $\eta^2$와 달리 표본 크기($n$)의 영향을 받지 않도록 설계되어 있어, 표본이 커지더라도 효과 크기 자체를 객관적으로 비교할 수 있습니다.
• 범주형 데이터의 경우, 테이블의 크기($k$)에 따라 해석의 강도가 달라질 수 있으나 일반적으로 0~1 사이의 값을 가집니다.

[요약 비교]

구분	에타 제곱 ($\eta^2$)	크라메르 V (Cramér's V)
주요 용도	연속형 변수 간의 차이 (ANOVA)	범주형 변수 간의 연관성 (Chi-square)
핵심 질문	"설명력(분산)이 얼마나 되는가?"	"연관성(상관)이 얼마나 강한가?"
값의 범위	$0 \le \eta^2 \le 1$	$0 \le V \le 1$
데이터 형태	독립변수(범주) $\rightarrow$ 종속변수(연속)	범주형 변수 $\leftrightarrow$ 범주형 변수