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지수 분포의 수식을 유도하는 가장 논리적이고 표준적인 방법은 푸아송 과정(Poisson Process)에서 출발하는 것입니다. 지수 분포는 '사건이 발생할 때까지 걸리는 시간'에 대한 분포이고, 푸아송 분포는 '특정 시간 동안 발생하는 사건의 횟수'에 대한 분포입니다. 이 둘은 동전의 양면과 같습니다. 이 관계를 이용하여 지수 분포의 확률 밀도 함수(PDF)인 $f(t) = \lambda e^{-\lambda t}$를 유도해 보겠습니다. 1. 전제 조건: 푸아송 분포단위 시간당 평균 $\lambda$번 발생하는 사건이 있다고 가정합니다. 시간 $t$ 동안 사건이 총 $k$번 발생할 확률 $P(N(t)=k)$는 푸아송 분포를 따르며 다음과 같습니다. $$P(N(t) = k) = \frac{(\lambda ..

푸아송 과정(Poisson Process)은 확률론과 통계학에서 시간에 따라 무작위로 발생하는 사건(Events)을 모델링하는 가장 대표적인 확률 과정(Stochastic Process)입니다. 쉽게 말해, "평균적으로 일정한 속도로 발생하지만, 정확한 발생 시점은 예측할 수 없는 사건들의 흐름"을 설명하는 도구입니다.1. 직관적인 정의어떤 사건이 매우 드물게, 그리고 서로 독립적으로 발생한다고 가정해 봅시다. 예를 들어:콜센터에 걸려오는 상담 전화웹사이트에 접속하는 방문자 수방사능 물질에서 방출되는 입자이러한 사건들이 시간에 따라 점(point)처럼 찍히는 과정을 수학적으로 표현한 것이 푸아송 과정입니다.2. 성립 조건 (3가지 핵심 가정)푸아송 과정이 되기 위해서는 다음의 세 가지 조건(Axioms)..