푸아송 과정(Poisson Process)

푸아송 과정(Poisson Process)은 확률론과 통계학에서 시간에 따라 무작위로 발생하는 사건(Events)을 모델링하는 가장 대표적인 확률 과정(Stochastic Process)입니다.

쉽게 말해, "평균적으로 일정한 속도로 발생하지만, 정확한 발생 시점은 예측할 수 없는 사건들의 흐름"을 설명하는 도구입니다.

1. 직관적인 정의

어떤 사건이 매우 드물게, 그리고 서로 독립적으로 발생한다고 가정해 봅시다. 예를 들어:

• 콜센터에 걸려오는 상담 전화
• 웹사이트에 접속하는 방문자 수
• 방사능 물질에서 방출되는 입자

이러한 사건들이 시간에 따라 점(point)처럼 찍히는 과정을 수학적으로 표현한 것이 푸아송 과정입니다.

2. 성립 조건 (3가지 핵심 가정)

푸아송 과정이 되기 위해서는 다음의 세 가지 조건(Axioms)을 만족해야 합니다.

1. 독립성 (Independence): 서로 겹치지 않는 시간 구간에서 발생하는 사건의 수는 서로 독립적입니다. 즉, 지금 전화가 왔다고 해서 1분 뒤에 전화가 올 확률이 높아지거나 낮아지지 않습니다.
2. 일정성 (Stationarity / Constant Rate): 단위 시간당 발생하는 사건의 평균 횟수($\lambda$, 람다)는 시간의 흐름과 관계없이 일정합니다. (이를 '동질적 푸아송 과정'이라고 합니다.)
3. 비동시성 (Rareness): 매우 짧은 시간($\Delta t$) 안에 두 개 이상의 사건이 동시에 발생할 확률은 거의 0에 가깝습니다. 즉, 사건은 하나씩 순차적으로 발생합니다.

3. 수학적 정의와 공식

푸아송 과정은 $\lambda$ (람다)라는 단 하나의 파라미터로 정의됩니다.

• $\lambda$ (Rate Parameter): 단위 시간당 발생하는 평균 사건의 수

시간 $0$부터 $t$까지 발생하는 사건의 총 횟수를 $N(t)$라고 할 때, $N(t)$가 $n$번일 확률은 푸아송 분포를 따릅니다.

$$P(N(t) = n) = \frac{e^{-\lambda t} (\lambda t)^n}{n!}, \quad n = 0, 1, 2, \dots$$

• $e$: 자연상수 (약 2.718)
• $n!$: 팩토리얼 ($n \times (n-1) \times \dots \times 1$)

4. 중요한 두 가지 관점 (Counting vs Interval)

푸아송 과정을 바라보는 두 가지 중요한 시각이 있습니다. 이 관계를 이해하는 것이 핵심입니다.

• 관점 A: 정해진 시간 동안 몇 번 발생하는가? (Count)
  
  • 특정 시간 $t$ 동안 발생한 사건의 개수는 푸아송 분포를 따릅니다.
  • 예: "1시간 동안 콜센터에 전화가 5통 올 확률은?"
• 관점 B: 다음 사건까지 얼마나 걸리는가? (Interval)
  
  • 사건과 사건 사이의 대기 시간(Inter-arrival time)은 지수 분포를 따릅니다.
  • 예: "지금 전화가 끊기고 다음 전화가 올 때까지 10분 이상 걸릴 확률은?"
  • 이것은 지수 분포의 무기억성(Memorylessness)과 연결됩니다. (과거에 얼마나 기다렸든, 앞으로 기다려야 할 시간의 확률은 변하지 않음)

5. 실제 활용 사례

1. IT 및 네트워크: 서버에 도착하는 패킷의 트래픽 모델링, 대기열 이론(Queueing Theory)의 기초.
2. 신뢰성 공학: 기계 부품이 고장 날 때까지의 시간 예측.
3. 자연과학: 방사성 원소의 붕괴 횟수 측정, 지진 발생 빈도 분석.
4. 금융: 보험 청구 건수 모델링이나 주식 거래 주문 도달 모델링(일부 경우).

요약

푸아송 과정은 "랜덤하게 발생하는 사건들을 수학적으로 다루기 위한 표준 도구"입니다.

• 사건의 개수를 셀 때는 $\rightarrow$ 푸아송 분포
• 사건 간의 시간 간격을 잴 때는 $\rightarrow$ 지수 분포

이 두 가지 분포가 동전의 양면처럼 연결되어 있다는 점을 기억하면 이해에 큰 도움이 됩니다.