선형대수학 핵심 개념: 행렬식, 고유값, 계수

선형대수학에서 행렬은 단순히 숫자의 배열이 아니라, 벡터를 다른 벡터로 변환하는 '선형 변환'을 나타냅니다. 행렬식, 고유값, 계수는 이러한 변환의 성질을 파악하는 데 도움을 주는 핵심적인 도구들입니다.

1. 행렬식 (Determinant)

행렬식은 정사각행렬에 대해서만 정의되는 하나의 스칼라 값입니다. 행렬 $A$의 행렬식은 $\det(A)$ 또는 $|A|$로 표기합니다.

• 기하학적 의미: 행렬식이란 선형 변환이 공간을 얼마나 '확장' 또는 '축소'시키는지를 나타내는 '배율'입니다.
  • 2x2 행렬: 변환 후 단위 정사각형이 이루는 평행사변형의 넓이.
  • 3x3 행렬: 변환 후 단위 정육면체가 이루는 평행육면체의 부피.
  • 만약 행렬식의 값이 0이라면, 해당 변환은 공간을 더 낮은 차원으로 '납작하게' 만듭니다 (예: 3D 공간을 2D 평면으로).
  • 행렬식의 부호는 변환 시 '방향성(orientation)'이 유지되는지(양수) 또는 뒤집히는지(음수)를 의미합니다.
• 대수적 의미: 행렬식은 행렬의 가역성(invertibility)을 판단하는 기준이 됩니다.
  • $\det(A) \neq 0$: 행렬 $A$는 역행렬($A^{−1}$)이 존재하며, 가역 행렬(invertible matrix)이라고 합니다. 이는 변환을 다시 원래대로 되돌릴 수 있음을 의미합니다.
  • $\det(A)=0$: 행렬 $A$는 역행렬이 존재하지 않으며, 특이 행렬(singular matrix)이라고 합니다.
• 계산 예시:
  • 2x2 행렬:

$$A=\begin{pmatrix}a & b \\ c & d​\end{pmatrix} \Rightarrow \det(A)=ad−bc$$

• • 3x3 행렬: 

$$A=​\begin{pmatrix} a&b&c \\ d&e&f \\ g&h&i \end{pmatrix}​​ \Rightarrow \det(A)=a(ei−fh)−b(di−fg)+c(dh−eg)$$

2. 고유값 (Eigenvalue)과 고유벡터 (Eigenvector)

고유값과 고유벡터는 선형 변환의 '본질적인 방향과 크기'를 설명합니다.

• 정의: 어떤 정사각행렬 $A$에 대해, 0이 아닌 벡터 $\vec{v}$가 다음 식을 만족할 때,$$ A\vec{v} = \lambda\vec{v} $$
  • $\lambda$ (람다): 고유값(Eigenvalue). 변환 후 고유벡터의 크기가 변하는 배율.
  • $\vec{v}$: 고유벡터(Eigenvector). 변환 후에도 방향이 변하지 않고 크기만 변하는 벡터.
• 의미: 고유벡터는 해당 행렬이 나타내는 선형 변환에서 '축'과 같은 역할을 합니다. 변환이 일어날 때, 다른 벡터들은 방향이 바뀌지만 고유벡터만큼은 자신의 방향을 그대로 유지한 채 고유값만큼의 크기로 늘어나거나 줄어들게 됩니다.
• 찾는 방법:
  1. 고유값 찾기: $A\vec{v}=λ\vec{v}$ 식을 $(A−λI)\vec{v}=0$ ($I$는 단위행렬)으로 변형합니다. 고유벡터 $\vec{v}$는 0이 아니어야 하므로, 이 방정식을 만족하려면 행렬 $(A - \lambda I)$이 역행렬을 가지면 안 됩니다. 따라서, 특성 방정식인 $\det(A−λI)=0$을 풀어 고유값 $\lambda$를 구합니다.
  2. 고유벡터 찾기: 위에서 구한 각각의 고유값 $\lambda$를 다시 $(A - \lambda I)\vec{v} = \vec{0}$에 대입하여, 이 방정식을 만족하는 벡터 $\vec{v}$를 구합니다.

3. 계수 (Rank)

행렬의 계수는 행렬이 가진 '실질적인 정보의 양' 또는 '차원'을 의미하며, 정사각행렬이 아니어도 정의됩니다.

• 정의: 행렬 $A$의 계수($\text{rank}(A)$)는 다음과 같이 정의할 수 있습니다.
  • 행렬을 구성하는 행벡터(또는 열벡터)들 중 서로 선형 독립(linearly independent)인 벡터의 최대 개수.
  • 더 직관적으로는, 행렬 $A$가 벡터들을 변환시킨 결과물들이 형성하는 공간(이를 '열공간' 또는 '치역'이라 합니다)의 차원을 의미합니다.
• 의미: 계수는 행렬 변환 후 결과 벡터들이 몇 차원의 공간을 형성하는지를 알려줍니다. 예를 들어, 3x3 행렬의 계수가 2라면, 이 행렬은 3차원 공간의 벡터들을 2차원 평면으로 변환시킨다는 의미입니다.
• 찾는 방법:
  • 가우스 소거법(Gaussian elimination)을 통해 행렬을 행사다리꼴(row echelon form)로 만듭니다.
  • 이때, 0으로만 구성된 행을 제외한 나머지 행의 개수가 바로 그 행렬의 계수입니다.

4. 행렬식, 고유값, 계수 간의 관계

이 세 가지 개념은 개별적으로도 중요하지만, 서로 어떻게 유기적으로 연결되는지 이해하는 것이 선형대수학의 핵심입니다. 이들의 관계를 알면 행렬의 한 가지 성질만으로도 다른 여러 특성을 파악할 수 있습니다. ($n \times n$ 정사각행렬 $A$를 기준으로 설명)

• 행렬식과 고유값의 관계:
  • 행렬식은 모든 고유값들의 곱과 같습니다.$$ \det(A) = \lambda_1 \times \lambda_2 \times \cdots \times \lambda_n $$
  • 이 관계로부터, 만약 고유값 중 하나라도 0이 있다면 행렬식은 반드시 0이 된다는 것을 알 수 있습니다.
• 행렬식과 계수의 관계:
  • $\det(A) \neq 0$일 필요충분조건은 행렬 $A$의 계수가 최대값($n$)을 갖는 것입니다. 즉, 행렬이 full rank인 것입니다.$$ \det(A) \neq 0 \iff \text{rank}(A) = n $$
  • $\det(A)=0$이라는 것은 행렬의 행/열 벡터들이 선형 종속이라는 의미이며, 이는 계수가 $n$보다 작다는 뜻입니다.$$ \det(A) = 0 \iff \text{rank}(A) < n $$
• 고유값과 계수의 관계:
  • 0인 고유값의 존재는 행렬의 계수와 직접적으로 관련됩니다.
  • 행렬 $A$가 고유값 0을 갖는다는 것은, 어떤 0이 아닌 고유벡터 $\vec{v}$에 대해 $A\vec{v} = 0\vec{v} = \vec{0}$이 성립한다는 의미입니다. 이는 행렬의 열벡터들이 선형 종속 관계에 있다는 증거이며, 따라서 계수는 $n$보다 작습니다.
  • 대각화 가능한(diagonalizable) 행렬의 경우, 계수는 0이 아닌 고유값의 개수와 같습니다.
  • 일반적으로, 행렬의 계수는 $n$에서 '0'이라는 고유값에 대응하는 선형 독립인 고유벡터의 수(기하적 중복도)를 뺀 값과 같습니다.$$ \text{rank}(A) = n - (\text{고유값 0의 기하적 중복도}) $$

5. 어떤 개념이 더 근본적인가?

세 개념 모두 선형대수학에서 필수적이지만, '어느 것이 더 근본적인가?'라는 질문에는 관점에 따라 답이 달라질 수 있습니다. 일반적으로 많은 수학자들은 계수(Rank)와 고유값/고유벡터(Eigenvalues/Eigenvectors)를 행렬식(Determinant)보다 더 근본적인 개념으로 여깁니다.

• 계수가 근본적이라는 관점 (가장 넓은 적용 범위)
  • 일반성: 계수는 정사각행렬이 아닌 모든 $m \times n$ 행렬에 대해 정의됩니다. 반면 행렬식과 고유값은 정사각행렬에만 적용되므로, 계수가 가장 범용적인 개념입니다.
  • 변환의 결과: 계수는 행렬 변환이 만들어내는 결과 공간(치역)의 '차원'을 알려줍니다. 이는 "변환의 최종 결과가 몇 차원인가?"라는 본질적인 질문에 답을 줍니다.
• 고유값/고유벡터가 근본적이라는 관점 (변환의 본질)
  • 변환의 메커니즘: 고유값과 고유벡터는 변환이 공간에 어떻게 작용하는지를 가장 깊이 있게 설명합니다. 변환 과정에서 방향이 변하지 않는 '축(고유벡터)'과 그 축 방향으로의 '배율(고유값)'은 변환의 동적 특성을 보여주는 핵심 정보입니다.
  • 시스템 분석: 행렬을 반복적으로 적용하는 동적 시스템(Dynamic Systems)을 이해할 때 고유값은 절대적인 역할을 하며, 시스템의 장기적인 변화를 예측하는 데 필수적입니다.
• 행렬식은 왜 덜 근본적인가?
  • 행렬식은 다른 개념들로부터 파생된 '요약 정보'의 성격이 강합니다. 행렬식은 모든 고유값의 곱으로 계산될 수 있으며, 이는 고유값이라는 더 상세한 정보로부터 유도되는 값임을 의미합니다.
  • 행렬식은 '부피 변화율'이라는 단 하나의 스칼라 값만 제공하지만, 고유값은 변환이 각 축 방향으로 어떻게 일어나는지에 대한 상세한 정보를 모두 담고 있습니다.

요약: 특이 행렬(Singular Matrix)의 동치 조건

다음 명제들은 모두 동치입니다. 즉, 하나가 참이면 나머지도 모두 참이 됩니다. 이 관계를 이해하면 행렬의 다양한 속성을 종합적으로 파악할 수 있습니다.

• $\det(A)=0$
• 최소 하나 이상의 고유값이 0이다.
• $\text{rank}(A) < n$ (Full rank가 아니다)
• 행렬 $A$는 역행렬을 갖지 않는다 (특이 행렬이다).
• 행렬 $A$의 행/열 벡터들은 선형 종속이다.