계량 텐서로부터 아인슈타인 텐서 유도 과정

일반 상대성 이론에서 계량 텐서($g_{\mu\nu}$)는 시공간의 기하학적 구조 그 자체를 나타내는 가장 핵심적인 요소입니다. 이로부터 아인슈타인 텐서($G_{\mu\nu}$)를 유도하는 과정은 시공간이 어떻게 휘어져 있는지를 수학적으로 계산해내는 과정입니다.

1. 계량 텐서 (Metric Tensor, $g_{\mu\nu}$) 란?

계량 텐서는 시공간의 모든 지점에서 '거리'가 어떻게 측정되는지를 정의하는 수학적 도구입니다. 4차원 시공간(시간 1차원 + 공간 3차원)에서 계량 텐서는 4x4 대칭 행렬로 표현됩니다.

핵심 역할

1. 시공간 간격 (Spacetime Interval) 정의:

가장 기본적인 역할입니다. 두 무한히 가까운 시공간 상의 점 $(x^\mu)$과 $(x^\mu + dx^\mu)$ 사이의 '거리' (정확히는 시공간 간격, $ds^2$)를 계산합니다. 이는 피타고라스 정리를 일반화한 것입니다.

$$ds^2 = g_{\mu\nu} dx^\mu dx^\nu$$

• $ds^2 > 0$: 공간과 같은 간격 (space-like)
• $ds^2 < 0$: 시간과 같은 간격 (time-like, 입자의 실제 경로)
• $ds^2 = 0$: 빛과 같은 간격 (light-like, 빛의 경로)

2. 중력장의 표현:

일반 상대성 이론에서 중력은 시공간의 곡률입니다. 계량 텐서 $g_{\mu\nu}$는 그 자체로 중력장(gravitational field)을 나타냅니다. 시공간이 휘어져 있다는 것은 $g_{\mu\nu}$가 시공간의 위치마다 다른 값을 가진다는 의미입니다.

• 평평한 시공간 (특수 상대성 이론): 중력이 없는 경우, 민코프스키 계량($\eta_{\mu\nu}$)을 사용합니다.

$$\eta_{\mu\nu} = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$
        (부호 규약 (-, +, +, +) 사용 시)

• 휘어진 시공간 (일반 상대성 이론): 질량(에너지)이 존재하면 시공간이 휘고, $g_{\mu\nu}$는 위치($x^\mu$)의 함수가 됩니다. (예: 슈바르츠실트 계량)

3. 측지선 (Geodesics) 결정:

계량 텐서는 입자가 시공간에서 움직이는 '가장 곧은 경로'(측지선)를 결정합니다. 중력장 내에서 자유 낙하하는 물체는 바로 이 측지선을 따라 움직입니다. (측지선 방정식은 계량 텐서로 계산되는 크리스토펠 기호를 포함합니다.)

4. 시간 팽창과 길이 수축:

계량 텐서의 성분은 좌표 시간과 관찰자의 고유 시간 사이의 관계($g_{00}$), 좌표상의 거리와 실제 물리적 거리 사이의 관계($g_{ii}$) 등을 결정합니다.

2. 아인슈타인 텐서 ($G_{\mu\nu}$) 유도 과정

아인슈타인 텐서는 시공간이 '어떻게' 휘어져 있는지를 나타내는 텐서입니다. 이는 계량 텐서($g_{\mu\nu}$)로부터 수학적인 미분 연산을 통해 단계적으로 계산됩니다.

이 과정은 계량 텐서의 1차 미분과 2차 미분을 포함합니다.

1단계: 크리스토펠 기호 (Christoffel Symbols, $\Gamma^\lambda_{\mu\nu}$)

• 의미: 계량 텐서가 시공간의 한 점에서 다른 점으로 이동할 때 어떻게 변하는지를 나타냅니다. 즉, 계량 텐서의 1차 미분으로 계산됩니다.
• 역할: 좌표계 자체가 휘어져 생기는 효과(관성력 등)와 실제 시공간의 곡률(중력)을 모두 포함합니다.
• 공식:

$$\Gamma^\lambda_{\mu\nu} = \frac{1}{2} g^{\lambda\sigma} \left( \frac{\partial g_{\sigma\mu}}{\partial x^\nu} + \frac{\partial g_{\sigma\nu}}{\partial x^\mu} - \frac{\partial g_{\mu\nu}}{\partial x^\sigma} \right)$$

    (여기서 $g^{\lambda\sigma}$는 $g_{\mu\nu}$의 역행렬입니다.)

2단계: 리만 곡률 텐서 (Riemann Curvature Tensor, $R^\rho_{\sigma\mu\nu}$)

• 의미: 시공간의 진짜 곡률을 측정하는 텐서입니다.
• 역할: 어떤 벡터를 닫힌 경로를 따라 평행 이동시켰을 때, 원래 벡터로 돌아오지 않는 정도를 측정합니다. 이 값이 0이면 시공간은 평평합니다.
• 공식: 크리스토펠 기호의 1차 미분 (즉, 계량 텐서의 2차 미분)으로 계산됩니다.

$$R^\rho_{\sigma\mu\nu} = \frac{\partial \Gamma^\rho_{\sigma\nu}}{\partial x^\mu} - \frac{\partial \Gamma^\rho_{\sigma\mu}}{\partial x^\nu} + \Gamma^\rho_{\lambda\mu} \Gamma^\lambda_{\sigma\nu} - \Gamma^\rho_{\lambda\nu} \Gamma^\lambda_{\sigma\mu}$$

3단계: 리치 텐서 (Ricci Tensor, $R_{\mu\nu}$)

• 의미: 리만 곡률 텐서를 "축약(contraction)"하여 얻은, 좀 더 단순화된 곡률 정보입니다.
• 역할: 시공간의 한 지점에서 부피 변화율(조석력)과 관련이 깊습니다.
• 공식: 리만 텐서의 두 인덱스를 축약합니다.

$$R_{\mu\nu} = R^\lambda_{\mu\lambda\nu}$$

4단계: 리치 스칼라 (Ricci Scalar, $R$)

• 의미: 리치 텐서를 한 번 더 축약하여 얻은 단일 값(스칼라)입니다.
• 역할: 시공간 한 지점의 '평균적인' 곡률을 나타냅니다.
• 공식: 리치 텐서를 계량 텐서(의 역행렬)로 축약합니다.

$$R = g^{\mu\nu} R_{\mu\nu}$$

5단계 (최종): 아인슈타인 텐서 (Einstein Tensor, $G_{\mu\nu}$)

• 의미: 리치 텐서와 리치 스칼라, 그리고 계량 텐서를 조합하여 만든 텐서입니다.
• 역할: 이 텐서는 에너지-운동량 보존 법칙($\nabla_\mu T^{\mu\nu} = 0$)과 양립하도록 특별히 설계되었습니다. (아인슈타인 텐서의 공변 발산(covariant divergence)은 항상 0입니다: $\nabla_\mu G^{\mu\nu} = 0$)
• 공식:

$$G_{\mu\nu} = R_{\mu\nu} - \frac{1}{2} R g_{\mu\nu}$$

결론: 아인슈타인 장 방정식

이렇게 계량 텐서($g_{\mu\nu}$)로부터 유도된 아인슈타인 텐서($G_{\mu\nu}$)는 시공간의 기하학적 구조(곡률)를 나타냅니다. 아인슈타인은 이것이 물질과 에너지의 분포를 나타내는 에너지-운동량 텐서($T_{\mu\nu}$)와 같다고 보았습니다.

아인슈타인 장 방정식 (Einstein Field Equations):

$$G_{\mu\nu} = \frac{8\pi G}{c^4} T_{\mu\nu}$$
(시공간의 곡률) = (물질과 에너지의 분포)

요약하자면, 계량 텐서($g_{\mu\nu}$)는 중력장이자 시공간의 기하학 그 자체이며, 이 텐서의 1차, 2차 미분 조합을 통해 계산된 아인슈타인 텐서($G_{\mu\nu}$)가 바로 물질이 시공간을 어떻게 휘게 하는지를 설명하는 방정식의 핵심입니다.